Para hallar la ecuación general de una recta vertical L que forme con las rectas L1 y L2 un triángulo de área 8 unidades cuadradas, debemos usar el concepto de producto vectorial. Este nos permite calcular el área de un triángulo dadas las ecuaciones de sus dos lados.
El producto vectorial de dos vectores u y v es un vector perpendicular a ambos y su magnitud es igual al área del paralelogramo formado por u y v.
El producto vectorial se puede calcular a partir de las coordenadas de los vectores u y v:
(u × v) = (u1, u2, u3) × (v1, v2, v3) = (u2 * v3 - u3 * v2, u3 * v1 - u1 * v3, u1 * v2 - u2 * v1)
Podemos convertir las ecuaciones de las rectas L1 y L2 a forma vectorial para calcular el producto vectorial y obtener la dirección del vector normal a ambas rectas. La dirección del vector normal es igual a la dirección de la recta vertical L que forma con L1 y L2 un triángulo de área 8 unidades cuadradas.
La forma vectorial de la recta L1 es:
L1 : -2x + y = 5
(-2, 1, 5)
La forma vectorial de la recta L2 es:
L2 : 4x + 2y = 1
(4, 2, -1)
El producto vectorial de L1 y L2 es:
L1 × L2 = (-2, 1, 5) × (4, 2, -1) = (-8, -2, 12)
La dirección del vector normal a L1 y L2 es:
(-8, -2, 12)
La ecuación general de la recta vertical L es:
x = x0, donde x0 es una constante.
El punto de intersección de L con el plano x = x0 se puede encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de L1 y L2 y la ecuación de L. La ecuación general de la recta vertical L es:
x = x0.
La solución de x0 de este sistema de ecuaciones nos permitirá calcular las coordenadas de un punto de intersección de L con L1 y L2 y comprobar que el área del triángulo formado por L1, L2 y L es 8 unidades cuadradas.
