La ecuación canónica de una parábola es y = ax^2 + bx + c, donde (a,b,c) son constantes que pueden ser determinados a partir de los datos de la parábola.
Para encontrar la ecuación de una parábola donde la recta directriz tiene la ecuación y + 2 = 0 y los extremos del lado recto son (0,2) y (8,2), podemos seguir los siguientes pasos:
Encuentra el punto de foco de la parábola: el punto de foco es el punto medio entre los extremos del lado recto. El punto de foco de esta parábola es (4, 2).
Encuentra la distancia entre el punto de foco y la recta directriz: la distancia es el valor absoluto de la ordenada del punto de foco menos la ordenada de la recta directriz. En este caso, la distancia es 2 - (-2) = 4.
Usa la distancia y el punto de foco para escribir la ecuación canónica: la forma general de la ecuación canónica de una parábola con un punto de foco (h,k) y distancia "p" es (y - k) = 4a(x - h)^2. Reemplazando los valores para este caso en particular, tenemos:
(y - 2) = 4a(x - 4)^2
Simplifica la ecuación canónica: reordenando los términos y dividiendo ambos lados de la ecuación por 4a, obtenemos:
y - 2 = (x - 4)^2
y = (x - 4)^2 + 2
Esta es la ecuación canónica de la parábola que cumple con los requisitos dados.