Tema: Solución de una ecuación cuadrática
Opción b) \frac{1}{4}
Desarrollo:
Como bien mencionas, nos encontramos frente a una ecuación de grado 2.
kx^2+2kx+3x+k-6=0
Lo primero que debemos hacer es darle la forma ax^2+bx+c=0
kx^2+(2k+3)x+k-6=0
De esta forma:
a=k
b=2k+3
c=k-6
Ahora bien, podemos aplicar la formula general,
x_1,x_2=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}
para después igualar la solución que utiliza signo positivo con la de signo negativo:
\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a} =\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}
Sin embargo podemos centrarnos únicamente en el discriminante, ya que en base a él tenemos 3 casos específicos:
- Si b^2-4ac < 0, la ecuación no tiene una solución en el campo de los números reales.
- Si b^2-4ac > 0, la ecuación tendrá dos soluciones de tal forma que x1 \neq x2.
- Y por último, si b^2-4ac = 0 entonces x1 = x2, por lo que ambas raíces serán iguales.
Entonces:
b^2-4ac=0\\(2k+3)-4(k)(k-6)=0\\4k^2+12k+9-4k^2+24k=0\\12k+24k+9=0\\36k=-9\\\\\boxed{k=-\frac{1}{4} }
Por lo que la respuesta correcta es la opción e.
¡Saludos!
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