Sea r la radio original del círculo y A el área original del círculo.
Sabemos que si se aumenta el radio en 6 pulgadas, el nuevo radio será r + 6, y el área será 9A.
Podemos escribir la formulacion para el area original del circulo como:
A = πr^2
Y para el nuevo circulo con radio r+6:
9A = π(r+6)^2
Ahora podemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar y luego calcular el área original del círculo.
Comenzamos despejando r^2 de la primera ecuación:
A = πr^2 r^2 = A/π
Luego, sustituimos r^2 en la segunda ecuación:
9A = π(r+6)^2 9A = π(r^2 + 12r + 36) 9A = π(A/π + 12r + 36) (sustituyendo r^2 por A/π) 9A = A + 12πr + 36π 8A = 12πr + 36π 2A = 3πr + 9π 2A/π = 3r + 9 2A/π - 9 = 3r r = (2A/π - 9)/3
Ahora podemos sustituir este valor de r en la fórmula original del área:
A = πr^2 A = π((2A/π - 9)/3)^2
Podemos simplificar esto y resolver para A:
A = π((2A/π)^2 - 12(2A/π)/3 + 81/9) A = π(4A^2/π^2 - 8A/π + 9) A = 4A^2/π - 8A + 9π
Ahora podemos resolver para A usando la fórmula cuadrática:
A = [8 ± √(64 - 4(4)(9π))]/8π A = [8 ± √(64 - 144π)]/8π
El valor negativo no tiene sentido, ya que A representa el área del círculo, así que tomamos el valor positivo:
A = [8 + √(64 - 144π)]/8π
Por lo tanto, el área del círculo original es:
A = [8 + √(64 - 144π)]/8π ≈ 25,47 unidades de área.
Recuerda que si el problema te pide una respuesta numérica, debes especificar la unidad de medida que se está utilizando. En este caso, la unidad de medida sería la unidad de longitud al cuadrado (por ejemplo, pulgadas cuadradas o centímetros cuadrados).
