p1 ; p2 ; p3 ; p4 ; ...
3+1 6 + 4 9 + 9 12+ 16
Analizando bien la situación, debemos encontrar una forma lógica de poder relacionar cada cantidad de palitos de una figura con la otra, para eso, veamos que tienen en común.
p1 : Una parte de la figura parece un "triangulo en diagonal" mirando hacia la izquierda superior, pero si tomamos eso, solo nos quedaría el unico palito del lado derecho, por lo consiguiente:
p1 : 3 (los 3 palillos del triángulo) + 1 (el palito sobrante, que casualmente es la posición de la figura).
P2 : tomamos en cuenta los 2 triangulo que son idénticos y contamos por separados los palitos.
p2 : 6 + 4
P3: Repetimos el mismo proceso.
P3: 9 + 9
P4 : 12 + 16.
Ahora vemos que relacion tenemos entre los datos que hemos encontrado ahora.
P1 ; p2 ; p3 ; p4
3 + 1 6 + 4 9 + 9 12 + 16
Vemos que siempre, el primer sumando (parte izquierda) es igual a un múltiplo de 3.
3 ; 6 ; 9 ; 12 (aquí esta mejor ordenado)
analizando más profundo :
p1 = 3(1) = 3
p2 = 3(2) = 6
p3 = 3(3) = 9
p4 = 3(4) = 12
... etc
como vemos, el primer sumando de cada termino es igual a el numero 3 multiplicado por el numero de posición del termino.
Por ejemplo, el primer sumando del termino numero 100, sería :
3 (100) = 300
Ahora debemos analizar el segundo sumando para ver que relación tiene con los respectivos términos.
P1 = 1
P2 = 4
P3 = 9
P4 = 16
ETC.
Notamos algo curioso.
Que en cada término, el numero es equivalente a la posición del termino elevado al cuadrado, por ejemplo.
El termino 16 es igual al termino 4 elevado al cuadrado.
por lo cual la formula sería:
tn = 3(n) + n^{2}
Verificando si eso se cumple.
termino numero 3.
t3 = 3(3) + (3.3)
t3 = 9 + 9
t3 = 18
Ahora nos piden hallar el termino 10.
aplicando la formula:
t10 = 3(10) + (10.10)
t10 = 30 + 100
t10 = 130
Espero haberte ayudado, cualquier error de antemano te pido disculpa.