Respuesta:
Para resolver este problema, se puede utilizar el modelo de colas conocido como M/M/1, que se refiere a un sistema de una sola fuente de llegadas (M), un solo servidor (M) y una cola (1). A partir de este modelo, se pueden calcular diferentes métricas de desempeño del sistema. A continuación, se resuelven las preguntas planteadas:
Explicación:
a) Nº medio de clientes en cola:
Primero, se debe calcular la tasa de llegada y la tasa de servicio en clientes por minuto. La tasa de llegada es de 9 clientes cada 5 minutos, lo que equivale a una tasa de llegada de λ = 1,8 clientes por minuto. La tasa de servicio es de 10 clientes cada 5 minutos, lo que equivale a una tasa de servicio de μ = 2 clientes por minuto.
A partir de estas tasas, se puede calcular la utilización del servidor, que es el cociente entre la tasa de llegada y la tasa de servicio: ρ = λ/μ = 0,9. Como ρ es menor que 1, el sistema está en régimen estacionario.
El número medio de clientes en cola se puede calcular utilizando la fórmula: Lq = (λ^2)/(μ(μ-λ)). Sustituyendo los valores, se obtiene:
Lq = (1,8^2)/(2*(2-1,8)) = 0,18 clientes
Por lo tanto, el número medio de clientes en cola es de 0,18 clientes.
b) Probabilidad de que se sobrepase el espacio para 10 personas:
Para calcular esta probabilidad, se puede utilizar la fórmula de Erlang-C, que da la probabilidad de que haya más de n clientes en el sistema. En este caso, n es igual a 10, que es el tamaño máximo de la cola. La probabilidad de que haya más de 10 clientes en el sistema es de:
P(n > 10) = (1 - ρ)(ρ^n)/(1 - ρ^(n+1))
Sustituyendo los valores, se obtiene:
P(n > 10) = (1 - 0,9)(0,9^11)/(1 - 0,9^12) = 0,00021
Por lo tanto, la probabilidad de que se sobrepase el espacio para 10 personas es muy baja, de 0,02%.
c) Probabilidad de que un cliente tenga que esperar más de 2 minutos:
La probabilidad de que un cliente tenga que esperar más de 2 minutos en la cola se puede calcular utilizando la fórmula:
P(W > 2) = ((1 - ρ)/ρ)*e^(-μt)
donde W es el tiempo de espera en la cola y t es el tiempo de servicio en minutos. En este caso, t es de 1/μ = 0,5 minutos.
Sustituyendo los valores, se obtiene:
P(W > 2) = ((1 - 0,9)/0,9)e^(-22) = 0,0025
Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente tenga que esperar más de 2 minutos es muy baja, de 0,25%.
d) Reducción del tiempo medio en cola con una segunda caja:
Si se dispusiera de una segunda caja, se podría atender a más clientes simultáneamente, lo que reduciría el tiempo.
Me costó mucho esta respuesta, por lo que si es posible una coronita estaría muy agradecido.
Gracias, espero te sirva :)
