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Los enteros son números completos más sus contrapartes negativas: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Los números negativos aparecieron en China alrededor del siglo primero AC. (¡Eso es 1000 años antes que se reconociera al cero como número!) Sin embargo, a pesar de su utilidad para representar conceptos como deuda, no fue sino hasta el siglo 18 — hace menos de 300 años — que ganaron aceptación general como números.

Los números fraccionarios han existido desde antes que los números negativos y el cero. Los Egipcios antiguos (a partir del siglo 21 AC) estudiaron las fracciones. Hoy en día, los números fraccionarios están incluidos en el conjunto de los números racionales, que son los números que se pueden escribir de la forma  donde p y q son enteros.

Nota que todos los enteros (y eso significa todos los números completos y números naturales) son números racionales porque pueden escribirse usando 1 como el denominador ρ. Por ejemplo, -3 puede escribirse como\frac{-3}{1}, por lo que también es un número racional.

Hasta ahora, los tipos de números que hemos descrito forman una serie de conjuntos anidados. Empezamos con los números naturales, luego expandimos ese conjunto con el 0 para formar los números completos. Luego incluimos los números negativos con los números completos para crear los enteros. Ahora tenemos los números racionales, los cuales incluyen a todos los enteros además de muchos otros números.

El matemático Griego Pitágoras, de quien toma el nombre el Teorema de Pitágoras, era el líder de un grupo conocido como los Pitagóricos. Ellos creían que todas las cantidades podían ser expresadas con un número natural o una relación entre los números naturales. Cuenta la leyenda que creían esto tan fervientemente que cuando uno de sus miembros usó el Teorema de Pitágoras para demostrar que la hipotenusa del siguiente triángulo no puede ser expresada como el radio de números naturales, lo exiliaron. (O peor — algunas historias dicen que lo echaron por la borda cuando estaban en el mar y lo vieron ahogarse!)

Ahora sabemos que los Pitagóricos estaban equivocados, y que sí hay cantidades que no son racionales. Estos números irracionales no pueden ser expresados como el radio de enteros. Cualquier raíz cuadrada de un número que no sea un cuadrado perfecto, por ejemplo\sqrt{2} , es irracional.

Los números irracionales se escriben comúnmente como una de tres formas: como una raíz, usando un símbolo especial (como π), o como un decimal que no se repite y nunca termina.

Los números con una parte decimal pueden terminar o no terminar. Terminar significa que los dígitos eventualmente se detienen (aunque podemos escribir ceros al final). Un decimal que no termina tiene dígitos (diferentes de 0) que continúan para siempre. Por ejemplo, considera la forma decimal de \frac{1}{3}, que es 0.3333…. Los 3s continúan indefinidamente. O la forma decimal de \frac{1}{11}, que es 0.090909…: la secuencia "09" continúa para siempre.

Además de no terminar, estos dos números son también decimales repetidos. Sus partes decimales están hechas de un número o secuencia de números que se repiten una y otra vez. Un decimal es no repetido si sus dígitos jamás forman un patrón repetitivo. El valor de\sqrt{2, por ejemplo, es 1.414213562…. No importa qué tan lejos sigamos los números, los dígitos jamás repetirán la secuencia previa.

Si un número termina o se repite, debe ser racional; si no termina y no se repite, el número es irracional.

El conjunto de los números reales se forma al combinar el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales consiste en todos los números que tienen un lugar en la recta numérica.

Los números que pueden ser representados en la recta numérica se llaman números reales. Estos números pueden ser separados en dos conjuntos que no tienen números en común: los números irracionales y los números racionales. Los números irracionales tienen formas decimales que no terminan ni se repiten. Los números racionales tienen formas decimales que terminan o se repiten. Dentro del conjunto de números racionales existen varios conjuntos más pequeños y que están anidados: los números enteros, números completos, y números naturales.

Los conjuntos de números se definen como sigue:

Números reales: cualquier número que sea racional o irracional.

Números racionales: cualquier número que se puede escribir como el radio de dos enteros y que termina o se repite en su forma decimal

Enteros: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Números completos: 0, 1, 2, 3, …

Números naturales: 1, 2, 3, .....

Números irracionales: cualquier número que no se puede escribir como el radio de dos enteros y que no termina ni se repite en su forma decimal.