Hallar la ecuación de la circunferencia con h=5, k=2, que pase por x=1, y=5.

La ecuación de la circunferencia solicitada está dada por:Forma Ordinaria:

\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y-2)^2= 25}}

Forma General:

\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-10 x-4y +4= 0 }}

Dado que conocemos las coordenadas del centro del círculo y las coordenadas de un punto dado que pasa por la circunferencia y por tanto pertenece a la misma

Siendo el centro el punto:

\bold { C \ (5,2) \ \ \ (h, k)}

Y un punto A perteneciente a la circunferencia:

\bold { A \ (1,5) \ \ (x,y) }

Hallamos el radio del círculo

Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia

Tomamos para hallar el radio del círculo su centro y el punto dado que pertenece a la circunferencia y de los cuales conocemos sus coordenadas -ambos dados por enunciado-

Tomando entonces los puntos C (5,2) y A (1,5)  Empleamos la fórmula de la distancia entre los puntos para hallar el radio del círculo

\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }

Reemplazamos los valores para \bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}

\bold{C (5,2)\ \ \ \ \ \to (x_{1} , y_{1} )}

\bold{A (1,5) \ \ \ \ \ \to (x_{2} , y_{2} )}

\bold { radio = \sqrt{(1-5)^{2} +(5-2)^{2} } }

\bold { radio = \sqrt{(-4)^{2} +(3)^{2} } }

\bold { radio = \sqrt{16+ 9 } }

\bold { radio = \sqrt{25 } }

\bold { radio = \sqrt{5^{2} } }

\large\boxed{ \bold { radio = 5 \ unidades } }

El valor del radio es igual a 5 unidades

Conocido el valor del radio:Determinamos la ecuación de la circunferenciaLa ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen está dada por:

\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Determinamos la ecuación ordinaria de la circunferenciaReemplazando en la ecuación:

\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}

Los valores conocidos de (h, k) = C (5,2) y el radio hallado = 5 unidades

\bold { (x-(5))^2+(y-(2))^2=\left(5\right) ^{2} }

\bold { (x-5)^2+(y-2)^2=\left(5\right) ^{2} }

\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y-2)^2= 25}}

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia que hallamos previamente

\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}

Convertimos

\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y-2)^2= 25}}

A la ecuación general de la circunferencia

\bold { x^{2} -10 x +25+ y^{2} -4y + 4 = 25 }

\textsf{Igualamos a cero }

\bold { x^{2} -10 x +25+ y^{2} -4y + 4 - 25 = 0 }

\bold { x^{2} + y^{2}-10 x-4y +25 +4 -25= 0 }

\bold { x^{2} + y^{2}-10 x-4y +29 -25= 0 }

\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-10 x-4y +4= 0 }}

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, quedando determinada por su centro y el radio

Se adjunta gráfico