Un triángulo rectángulo tiene de hipotenusa 10 cm. Hallar los catetos sabiendo que su diferencia es de 2 cm.

Respuestas 1

Por la fórmula de Pitágoras, sabemos que:

{h}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}

Donde h es la hipotenusa, y a y b son los dos catetos.

Sólo sabiendo el valor de la hipotenusa sería imposible resolver este problema, ya que al quedar dos incógnitas habrían infinitas soluciones.

Pero como sabemos que entre ellas hay una diferencia de 2 cm, podemos plantear que "x" es una medida de la cual parten los dos catetos, y que...

a = x \\ b = x + 2

De esta forma, sustituimos en la ecuación y nos queda una sola incógnita:

{10}^{2} = {x}^{2} + {(x + 2)}^{2}

Desarrollamos la identidad notable

{10}^{2} = {x}^{2} + {x}^{2} + 4x + 4

100 = 2 {x}^{2} + 4x + 4

2 {x}^{2} + 4x - 96 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado. He despreciado el resultado negativo, ya que un lado no puede ser negativo.

x = \frac{ - 4 + \sqrt{ {4}^{2} - 4 \times 2 \times ( - 96) } }{2 \times 2}

x = \frac{ - 4 + 28}{4}

x = 6

Sabiendo que x es 6...

a = 6 \\ b = 6 + 2 = 8

Un cateto mide 6cm, y el otro 8cm.