El teorema de identidades para conjuntos establece que para dos conjuntos A y B, se cumple que:
n(A) + n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B)
Donde n(A) es el número de elementos en el conjunto A, n(B) es el número de elementos en el conjunto B, n(A U B) es el número de elementos en el conjunto unión de A y B y n(A ∩ B) es el número de elementos en el conjunto intersección de A y B.
A partir de los datos que se nos proporcionan, tenemos:
n(A U B) = 30
n(A - B) = 12
n(B - A) = 10
Podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular n(A ∩ B):
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A U B)
Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula anterior, obtenemos:
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - 30
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A U B)
= n(A) + n(B) - (n(A - B) + n(B - A))
= n(A) + n(B) - 12 - 10
= n(A) + n(B) - 22
Después de calcular n(A ∩ B), podemos sustituirlo en la fórmula original para calcular n(A) + n(B):
n(A) + n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B)
= 30 + (n(A) + n(B) - 22)
= 30 + n(A) + n(B) - 22
= 52
Por lo tanto, n(A) + n(B) = 52. Este es el número total de elementos en los conjuntos A y B juntos.