Respuesta:
a) se requieren 473.700 metros cuadrados de malla
b) el costo total de la malla requerida es $64'423.200
Explicación paso a paso:
para resolver el ejercicio se asumirá que la altura de las columnas tienen una altura de 227 metros.
la parábola que forma el puente se ve en la figura adjunta.
al colocar la imagen sobre el plano cartesiano vemos que la parábola esta definida entre -1500 y 1500, por lo que la integral quedara:
\int\limits^{1500}_{-1500} {f(x)} \, dx
ahora definiremos la función f(x):
como es una parábola tendrá la forma
f(x)=ax^2+b
de acuerdo a la figura podemos determinar que f(0)=5, por lo que b=5 asi que f(x) será:
f(x)=ax^2+5
ahora, cuando x=1500, la función tendrá una valor de , esto es:
227=ax^2+5
227=a(1500)^2+5
despejaremos a:
227-5=a(1500)^2
222=a(1500)^2
a=\dfrac{222}{1500^2}
a=9,86.10^{-5}
reemplazando tenemos que nuestra función es:
f(x)=9,86.10^{-5}x^2+5
reemplazando en la integral nos da:
\int\limits^{1500}_{-1500} {(9,86.10^{-5}x^2+5)} \, dx
ahora si podemos realizar la integral quedando:
\dfrac{9,86.10^{-5}x^3}{3} +5x \ \ |\limits^{+1500}_{-1500}
ahora evaluaremos la función obtenida en los limites quedando:
\dfrac{9,86.10^{-5}.(1500)^3}{3} +5(1500) -(\dfrac{9,86.10^{-5.}(-1500)x^3}{3} +5(-1500))
118.425-(-118.425)
236.850
como la integral es el área bajo la curva, y los términos usados están en metros, entonces podemos decir que se requiere un total de 236.855 metros cuadrados de malla para cubrir uno de los lados del puente.
para cubrir el otro lado, se necesitara una cantidad igual a la calculada, es decir 236.850 metros cuadrados de malla.
la malla total será
236.850m^2+236.850m^2=473.700m^2
por lo tanto, se requieren 473.700 metros cuadrados de malla
finalmente vamos a calcular el costo total de la malla requerida para hacer el cerramiento:
vamos a multiplicar el costo del metro cuadrado de malla por el total de metros cuadrados, esto es:
Valor \ total=\$ 136/m^2 \times 473.700m^2
Valor \ total = \$ 64'423.200
por lo tanto, el costo total de la malla requerida es $64'423.200