se adoptó un trozo de patio rectangular para hacer un jardín del grupo el director le da 20 metros de maya para sercarlo. Determina las dimensiones del futuro jardín que les asegure una area máxima para sembrar plantas
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Materia:
Matemáticas -
Autor/a:
josuegardner -
Creada:
hace 1 año
Respuestas 1
Tema: Máximos y mínimos
base= 5m\\altura=5m
Desarrollo:
Nos encontramos ante un problema que nos pide encontrar las dimensiones que podemos darle a un terreno rectangular para que su área sea la mayor posible. Hay un teorema que nos dice lo siguiente:
"El rectángulo con área máxima es un cuadrado"
Sin embargo es útil saber como demostrarlo, para ello nos ayudaremos del criterio de máximos y mínimos pero primero necesitamos una función objetivo. Podemos obtenerla a partir del enunciado.
Por un lado sabemos que: "el director le da 20 metros de maya para cercarlo" es decir, el perímetro será igual a 20:
P=2b+2h=20 \qquad \text{Ec. 1}
Por otro lado tiene que cumplirse que "las dimensiones del futuro jardín les asegure una área máxima"
A=b\cdot h=Max \qquad \text{Ec. 2}
Despejamos b en la ecuación 1:
b=10 -h \qquad \text{Ec. 3}
Y ahora sustituimos en la ecuación 2:
A=(10-h)(h) = 10h-h^2
Justamente esta ecuación será nuestra función objetivo, que nombraré por comodidad como f(h):
f(h)=-h^2+10h
Para encontrar los puntos críticos de la función, lo primero será derivar dicha función e igualar a cero. Así encontraremos nuestro punto crítico.
f'(h)=-2h+10\\\therefore -2h+10=0\\h=5
Y para comprobar si es un máximo, tiene que cumplirse que su segunda derivada sea igual o menor que 0.
f''(h)=-2
Como si lo cumple, sabemos que el valor de la altura que nos dará un área máxima es 5 metros. Finalmente sustituimos este valor en la ecuación 3 para encontrar el valor de la base:
b=10 -(5) =5
Con lo que hemos encontrar las medidas que maximizan el área, que efectivamente son las de un cuadrado.
¡Saludos!
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Autor/a:
stitchohpr
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