Desde la azotea de un edificio de 21 metros de altura Juan divisa la parte superior de una torre vecina con un ángulo de elevación de 30° y la base de dicha torre con un ángulo de depresión de 60°. Calcular la altura de la torre observada. Graficar.

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo de 30-60 es un triángulo notable

Dado que desde lo alto de un edificio se observa la parte inferior de una torre con un ángulo de depresión de 60° y la parte superior de la misma con un ángulo de elevación de 30°:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior de la torre-, vista con un ángulo de depresión de 60°, el lado DB que es una porción de la altura de la torre y a la vez coincide con la altura de la azotea del edificio en donde se encuentra el observador, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión a la torre y también la distancia horizontal hasta esta, en donde este otro cateto -es en este caso el adyacente-, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamamos distancia "x"- , la cual es una preincógnita

El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior de la torre-, vista con un ángulo de elevación de 30°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura de la torre, -de la cual no conocemos su dimensión y la llamamos distancia "y"- ; teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" desde el edificio hasta la torre

Por tanto se determinará primero la distancia "x" -desde el edificio hasta la torre-, y una vez conocida esa distancia calcularemos la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 60° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α \bold{\alpha = 60^o}

\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }

\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ x } } }

\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ edificio }{ tan(60^o) } } }

\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }

\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{21 \ m }{ \sqrt{3} } } }

\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{21}{\sqrt{3} } \ m } }

\boxed{\bold { distancia\ x = \frac{21}{ \sqrt{3} } \ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \ m } }

\boxed{\bold { distancia\ x = \frac{21 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } \ m } }

\boxed{\bold { distancia\ x = \frac{21 \sqrt{3} }{3 } \ m } }

\boxed{\bold { distancia\ x = \frac{7\ . \not3 \sqrt{3} }{\not3 } \ m } }

\large\boxed{\bold { distancia \ x = 7\sqrt{3} \ metros } }

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  \bold{\beta =30^o }

\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }

\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }

\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(30^o ) } }

\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }

\boxed{\bold { distancia \ y = 7\sqrt{3} \ m \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{ 3} } }

\boxed{\bold { distancia \ y = 7 \ . \ \frac{ (\sqrt{3})^{2} }{ 3} m } }

\boxed{\bold { distancia\ y = \ \frac{7 \ . \not3 }{\not3 } \ m } }

\large\boxed{\bold { distancia \ y = 7 \ metros } }

\boxed{\bold { Altura \ Torre\ (h) = altura\ edificio\ +\ distancia \ y } }

\boxed{\bold { Altura \ Torre\ (h) = 21 \ m +\ 7 \ m } }

\large\boxed{\bold {Altura \ Torre\ (h) = 28 \ metros } }

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto